熱サイクル
熱源
T_1, T_2,... から 熱
Q_1, Q_2,... を受け取る熱サイクル
Cを
\begin{aligned}
C &= (Q_1, Q_2, \cdots ) \\
\end{aligned}
と表す。あるいは、
C = \left(
\begin{array}{c}
Q_1 \\
Q_2 \\
\vdots
\end{array}
\right)
と表す。ただし、
Q_i < 0 のときは
T_iに熱を与えている、と考える。このとき、
C が外にした仕事
W は与えられた熱の総和
Q_1 + Q_2 + \cdots = \sum{Q_i} となる。
0熱サイクル
熱源と熱のやり取りのない熱サイクルを
() と表す。
1熱サイクル
熱源
T から 熱
Q を受け取る熱サイクル
C を考える。
\begin{aligned}
C &= (Q) \\
\end{aligned}
このとき、ケルビンの原理より
Q ≦ 0 が成り立つ。つまり、1つの熱源から正の熱を受け取るのみの熱サイクルは存在しない。
2熱サイクル
熱源
T_H から熱
Q_H を受け取り、熱源
T_L に
Q_L を与える熱サイクル
C を考える。
\begin{aligned}
C &= (Q_H, -Q_L) \\
\end{aligned}
このとき、
C が外にする仕事
W について
W = Q_H - Q_L が成り立つ。また、熱効率
η_Cを
η_C = W/Q_H と定めると、
\begin{aligned}
η_C &= \frac{W}{Q_H} = \frac{Q_H - Q_L}{Q_H} = 1 - \frac{Q_L}{Q_H} \\
\end{aligned}
が成り立つ。
相似熱サイクル
熱サイクル
C の
α > 0 だけ拡大した熱サイクルを
α C と表す。このとき、熱は示量性があるため
\begin{aligned}
α C = α(Q_1, Q_2, \cdots ) = (αQ_1, αQ_2, \cdots ) \\
\end{aligned}
が成り立つ。
熱サイクルの足し合わせ
熱サイクル
C,C' の熱サイクルの足し合わせを
C + C' と表す。このとき、熱と仕事は相加性があるため
\begin{aligned}
C + C' =
\left(\begin{array}{c} Q_1 \\ Q_2 \\ \vdots \end{array} \right) +
\left(\begin{array}{c} Q_1' \\ Q_2' \\ \vdots \end{array} \right) =
\left(\begin{array}{c} Q_1 + Q_1' \\ Q_2 + Q_2' \\ \vdots \end{array} \right) \end{aligned}
が成り立つ。
逆サイクル
熱サイクル
C の 逆熱サイクルを
C^{-1} と表す。このとき、
\begin{aligned}
C^{-1} = (Q_1, Q_2, \cdots )^{-1} = (-Q_1, -Q_2, \cdots ) \\
\end{aligned}
が成り立つ。また、逆サイクルとの足し合わせは
\begin{aligned}
C + C^{-1} =
\left(\begin{array}{c} Q_1 \\ Q_2 \\ \vdots \end{array} \right) +
\left(\begin{array}{c} -Q_1 \\ -Q_2 \\ \vdots \end{array} \right) =
\left(\begin{array}{c} Q_1 - Q_1 \\ Q_2 - Q_2 \\ \vdots \end{array} \right) =
\left(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ \vdots \end{array} \right) = ()
\end{aligned}
より0熱サイクルになる。逆サイクルがある熱サイクルを可逆サイクルという。
カルノーの定理
T_H, T_L からなる任意の可逆熱サイクル
C, C'を考える。
α = Q_L/Q_L' として
C + α C'^{-1} と
C^{-1} + α C'を考えると、
\begin{aligned}
C + αC'^{-1} =
\left(\begin{array}{c} Q_H \\ -Q_L \end{array} \right) +
α \left(\begin{array}{c} Q_H' \\ -Q_L' \end{array} \right)^{-1} =
\left(\begin{array}{c} Q_H - α Q_H' \\ -Q_L + α Q_L' \end{array} \right)
\end{aligned}
\begin{aligned}
C^{-1} + αC' =
\left(\begin{array}{c} Q_H \\ -Q_L \end{array} \right)^{-1} +
α \left(\begin{array}{c} Q_H' \\ -Q_L' \end{array} \right) =
\left(\begin{array}{c} -Q_H + α Q_H' \\ Q_L - α Q_L' \end{array} \right) \end{aligned}
となる。このとき、
αの定義より
Q_L = α Q_L' なので、
C + αC'^{-1} と
C^{-1} + αC' は熱源
T_L との熱のやり取りをしない。つまり、
\begin{aligned}
C + αC'^{-1} =
\left(\begin{array}{c} Q_H - α Q_H' \\ 0 \end{array} \right) \end{aligned}
\begin{aligned}
C^{-1} + αC' =
\left(\begin{array}{c} -Q_H + α Q_H' \\ 0 \end{array} \right) \end{aligned}
となる。ケルビンの原理より、
\begin{aligned}
Q_H - α Q_H' ≦0 &⇔ Q_H ≦ α Q_H' \\
- Q_H + α Q_H' ≦ 0 &⇔ α Q_H' ≦ Q_H
\end{aligned}
つまり、
\begin{aligned}
& & Q_H &= α Q_H' \\
& ⇔ & Q_H &= \frac{Q_L}{Q_L'} Q_H' \\
& ⇔ & \frac{Q_L}{Q_H} &= \frac{Q_L'}{Q_H'}
\end{aligned}
となる。つまり、熱源
T_H, T_L からなる任意の可逆2熱サイクルについて
Q_L/Q_H は等しい。あるいは、任意の熱源
T_H, T_L について可逆2熱サイクルの
Q_L/Q_H は 一意に定まる。
このとき、熱効率
η_C = 1 - Q_L/Q_H なので任意の熱源
T_H, T_L について可逆2熱サイクルの熱効率
η(T_L, T_H)は一意に定まる。
絶対温度
熱源
T_H, T_L からなる可逆熱サイクルを
C、熱源
T_L, T_0 からなる可逆熱サイクルを
C'、
α = Q_L / Q_L' として
C + α C' を考える。
\begin{aligned}
C + αC' =
\left(\begin{array}{c} Q_H \\ -Q_L \\ 0 \end{array} \right) +
α \left(\begin{array}{c} 0 \\ Q_L' \\ -Q_0' \end{array} \right) =
\left(\begin{array}{c} Q_H \\ 0 \\ - α Q_0' \end{array} \right) \end{aligned}
C + α C' = C^{-1} + α C'^{-1} = 0 より
C + α C' は可逆熱サイクルとなる。可逆熱サイクル
C, α C', C + α C'について熱効率を考えると、
\begin{aligned}
1 - η(T_L, T_H) &= Q_L/Q_H \\
1 - η(T_0, T_L) &= αQ_0'/Q_L \\
1 - η(T_0, T_H) &= αQ_0'/Q_H
\end{aligned}
よって、
\begin{aligned}
1 - η(T_L, T_H) &= \frac{1 - η(T_0, T_H)}{1 - η(T_0, T_L)}
\end{aligned}
となる。また、熱源
T_0 を固定して、
T_0 の温度を
T^{*}_{0}とする。このとき、任意の熱源
T の温度
θ(T)を
θ(T) = \frac{T^{*}_{0}}{1 - η(T_0, T)}
と定める。よって、
\begin{aligned}
1 - η(T_L, T_H) &= \frac{1 - η(T_0, T_H)}{1 - η(T_0, T_L)} = \frac{θ
(T_L)}{θ(T_H)}
\end{aligned}
以降、熱源
T の温度
θ(T) を
T と表す。熱と温度の関係を考えると、たとえば、熱源
T_H, T_L からなる可逆熱サイクル
C について、
\begin{aligned}
\frac{Q_L}{Q_H} = \frac{T_L}{T_H}
\end{aligned}
が成り立つ。あるいは、
\begin{aligned}
\frac{Q_H}{T_H} = \frac{Q_L}{T_L}
\end{aligned}
が成り立つ。
クラウジウスの不等式
熱源
T_1, T_2,... から 熱
Q_1, Q_2,... を受け取る熱サイクル
C を考える。
\begin{aligned}
C &= (0, Q_1, Q_2, \cdots ) \\
\end{aligned}
熱源
T^*, T_iからなる可逆熱サイクル
C'_iを考える。
\begin{aligned}
C'_i &= (Q^*_i, 0, \cdots, 0, -Q'_i, 0, \cdots, 0) \\
\end{aligned}
α_i = Q_i / Q'_i として
α_i C'_i は
\begin{aligned}
α_i C'_i &= (α_i Q^*_i, 0, \cdots, 0, -Q_i, 0, \cdots, 0) \\
\end{aligned}
となり、
α_i C'_i をすべて足し合わせると
\begin{aligned}
\sum{α_i C'_i} &= ( \sum{α_i Q^*_i}, -Q_1, -Q_2, \cdots ) \\
\end{aligned}
また、
C + \sum{α_i C'_i} を考えると、
\begin{aligned}
C + \sum{α_i C'_i} &= (\sum{α_i Q^*_i}, 0, 0, \cdots ) \\
\end{aligned}
よって、ケルビンの原理より、
\begin{aligned}
\sum{α_i Q^*_i} ≦ 0 \\
\end{aligned}
が成り立つ。一方ですべての可逆サイクル
α_i C'_i について
\begin{aligned}
\frac{α_i Q^*_i}{T^*} = \frac{Q_i}{T_i}
\end{aligned}
が成り立つため、すべて足し合わせると、
\begin{aligned}
\frac{\sum{α_i Q^*_i}}{T^*} = \sum{\frac{Q_i}{T_i}}
\end{aligned}
となり、
\sum{α_i Q^*_i} ≦ 0 であるため、
\begin{aligned}
\sum{\frac{Q_i}{T_i}} ≦ 0
\end{aligned}
となる。
C が逆サイクルを持つとすると
- \sum{α_i Q^*_i} ≦ 0 も成り立つため、等号成立は
C が可逆サイクルとなる。また、積分の記法で書くと、
\begin{aligned}
\int_{C}{\frac{\rm{d'}Q}{T}} ≦ 0
\end{aligned}
と表される。
エントロピー
任意の可逆過程
C, C' : X → Y について、
C'^{-1} \circ C はサイクルとなり、
C^{-1} \circ C' が逆サイクルとなる。このときクラウジウスの不等式より、
\int_{C'^{-1} \circ C}{\rm{d'}Q/T} = 0 となり、
\begin{aligned}
\int_{C'^{-1} \circ C}{\frac{\rm{d'}Q}{T}}
&= \int_{C'^{-1}}{\frac{\rm{d'}Q}{T}} + \int_{C}{\frac{\rm{d'}Q}{T}} \\
&= -\int_{C'}{\frac{\rm{d'}Q}{T}} + \int_{C}{\frac{\rm{d'}Q}{T}} \\
\end{aligned}
なので、
\begin{aligned}
\int_{C}{\frac{\rm{d'}Q}{T}} = \int_{C'}{\frac{\rm{d'}Q}{T}} \\
\end{aligned}
つまり、任意の可逆過程
C : X → Y について
\int_{C}{\rm{d'}Q/T}が一意に定まる。ここである状態
* を固定して、任意の状態
X について
S(X)をある可逆過程
C_X : * → Xによって、
\begin{aligned}
S(X) = \int_{C}{\frac{\rm{d'}Q}{T}} \\
\end{aligned}
と定める。任意の過程
C : X → Y について、
* \xrightarrow{C_X} X \xrightarrow{C} Y \xrightarrow{C^{-1}_Y} *
はサイクルとなるため、
\begin{aligned}
&⇔& \int_{C_X}{\frac{\rm{d'}Q}{T}} + \int_{C}{\frac{\rm{d'}Q}{T}} + \int_{C^{-1}_{Y}}{\frac{\rm{d'}Q}{T}} &≦ 0 \\
&⇔& \int_{C_X}{\frac{\rm{d'}Q}{T}} + \int_{C}{\frac{\rm{d'}Q}{T}} - \int_{C_{Y}}{\frac{\rm{d'}Q}{T}} &≦ 0 \\
&⇔& S(X) + \int_{C}{\frac{\rm{d'}Q}{T}} - S(Y) &≦ 0 \\
\end{aligned}
より、
\begin{aligned}
\int_{C}{\frac{\rm{d'}Q}{T}} &≦ S(Y) - S(X)
\end{aligned}
が成り立つ。過程
C が断熱過程のとき
\rm{d'}Q = 0 より
\begin{aligned}
S(X) ≦ S(Y)
\end{aligned}
が成り立つ。
0 件のコメント:
コメントを投稿